מספרי צמצם, תחנות צמצם ומה שביניהם

כולנו מכירים את תספרי הצמצם (ה-f-numbers) שהם אולי הנתון המשמעותי ביותר במשלוש החשיפה המוכר. בעלי הזיכרון הטוב בינינו אפילו זוכרים בע"פ את תחנות הצמצם (ה-f-stops) הסטנדרטיות וכן שדילוג בין כל שתי תחנות מגדיל או מקטין את החשיפה פי שתיים. ותזכורת למי ששכח:

אבל איך הגיעו למספרים המוזרים האלו ולמה בחרו דווקא בהם? ההסבר דורש מעט מתמטיקה אבל הוא באמת לא מסובך.

מספרי צמצם

מספר הצמצם (ה- f-number), מסומן ע"י האות N) מציין את היחס בין אורך המוקד (f) לקוטרו של אישון הכניסה[^1] (Entrance Pupil) של העדשה (D) דרכו עובר האור. כלומר: $$N = \frac{f}{D}$$
אישון הכניסה הוא חריר הצמצם, כפי שהוא נראה כאשר מסתכלים עליו דרך הצד הקדמי של עדשת המצלמה. מנגנון הצמצם ממוקם, בדרך כלל, בצידה האחורי של עדשת המצלמה והאלמנטים האופטיים שממוקמים לפניו גורמים לו להראות גדול או קטן יותר מגודלו האמיתי, כאשר מסתכלים דרכם. כאשר אין אלמנטים אופטיים נוספים, שעומדים לפני חריר הצמצם, כמו במקרה של מצלמה חריר (Pinhole Camera), אישון הכניסה יהיה זהה לחריר הצמצם.

לדוגמה, עבור עדשה עם אורך מוקד 50mm ואישון כניסה בקוטר 25mm נקבל מספר צמצם $N = \frac{50}{25} = 2$.

תחנות צמצם

תחנות הצמצם (ה-f-stops) הן מספרי צמצם (f-numbers) שבין כל שתיים מהן כמות האור המגיעה אל החיישן גדלה פי שתיים.
עבור עדשה מסויימת באורך מוקד מסוים, כמות האור העוברת דרך העדשה נשלטת אך ורק ע"י שטח חריר הצמצם. ככל ששטח החריר גדול יותר כך יותר אור יעבור דרך העדשה אל החיישן, וככל שהוא קטן יותר יעבור פחות אור. באופן אינטואיטיבי, אם נרצה להכפיל את כמות האור המגיע דרך העדשה אל החיישן נצטרך להכפיל את שטח החריר. עכשיו הזמן להיזכר שחריר הצמצם הוא בקירוב עיגול ושיטחו קשור לקוטרו לפי הנוסחה: $$A = \pi (\frac{D}{2})^2 = \pi \frac{D^2}{4}$$ ומכאן נגזרת הנוסחה ההפוכה: $$D = 2 \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{A}$$
עכשיו נשים לב שאם A קטן בחצי אז d יקטן בשורש חצי, כי: $$ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\frac{A}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{A}) = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot D $$ ואם נחבר את זה ביחד עם הנוסחה של ה-f-number נקבל:$$ \frac {N}{\sqrt{\frac{1}{2}}D} = \sqrt{2}\frac{l}{D}$$

עכשיו כל שנותר הוא להשתמש בנוסחאות האלו כדי לחשב את תחנות הצמצם. נקודת ההתחלה נבחרה באופן שרירותי להיות f1, שבה, כזכור, קוטר אישון הכניסה שווה לאורך המוקד של העדשה ושטחו יהיה A כלשהו לפי הנוסחה שלמעלה.
עכשיו מתקיים:

נראה לי שבשלב זה העיקרון די ברור, וזו הסיבה שתחנות הצמצם הן בעצם שורשים של חזקות של המספר שתיים.